Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Halo teman-teman apa kabar? Kali ini kita akan membahas tentang persamaan Ellips, yuk simak materi berikut.
Sebelum membahas mengenai persamaan elips, mari kita ingat-ingat kembali
persamaan dari suatu lingkaran. Lingkaran yang memiliki titik pusat di titik (a, b) dan
berjari-jari r memiliki persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Dengan membagi
kedua ruas persamaan tersebut dengan r2, kita akan memperoleh
Pada persamaan yang terakhir, nilai r pada
masing-masing penyebut secara berturut-turut merupakan jarak vertikal dan
horizontal dari titik pusat ke grafik. Lalu mungkin kita akan bertanya,
bagaimana jika nilai dari penyebut-penyebut tersebut berbeda? Untuk menjawab
pertanyaan tersebut, perhatikan persamaan berikut.
Pusat dari grafik
persamaan di atas tetaplah (3, –2), karena a = 3 dan b = –2. Dengan mensubtitusi y = –2, kita dapat menentukan titik-titik yang
memenuhi persamaan tersebut.
Hasil di atas, menunjukkan bahwa jarak horizontal titik pusat terhadap
grafik adalah 4 satuan, yaitu jarak titik pusat (3, –2) terhadap titik-titik
(–1, –2) dan (7, –2). Dengan cara yang serupa, untuk x = 3 kita akan mendapatkan (y + 2)2 = 9,
sehingga diperoleh y = –5
dan y = 1. Hal ini menunjukkan bahwa jarak vertikal
titik pusat terhadap grafik adalah 3, yaitu jarak titik (3, –2) terhadap
titik-titik (3, –5) dan (3, 1). Sehingga, dengan mengganti penyebut-penyebut
yang tidak sama pada suatu persamaan lingkaran, kita akan mendapatkan suatu
grafik memanjang dari lingkaran. Grafik seperti ini merupakan grafik dari
suatu elips.
Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor
disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak
lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.
§ Jika p > q, sumbu mayornya
horizontal (sejajar dengan sumbu-x) dengan panjang 2p, dan sumbu minornya vertikal dengan panjang 2q.
§ Jika p < q, sumbu mayornya
vertikal (sejajar dengan sumbu-y) dengan panjang 2q, dan sumbu minornya horizontal dengan panjang 2p.
Dari pengamatan kita
di atas, kita dapat menarik kesimpulan mengenai persamaan elips sebagai
berikut.
Bentuk Standar dari Persamaan Elips
Diberikan persamaan,
Diberikan persamaan,
Jika p ≠ q persamaan tersebut merepresentasikan grafik dari suatu elips dengan titik pusat (a, b). Nilai |p| merupakan jarak horizontal titik pusat dengan grafik, sedangkan |q| merupakan jarak vertikal titik pusat dengan grafik.
Contoh 1: Menggambar Grafik
Elips Horizontal
Sketsalah grafik dari persamaan:
Pembahasan
Dengan p ≠ q, persamaan di atas merupakan persamaan elips yang
memiliki titik pusat di (2, –1). Jarak horizontal dari titik pusat ke grafik
adalah p = 5 dan jarak vertikal dari titik pusat ke
grafik adalah q = 3. Setelah memplot
titik-titik yang bersangkutan dan menghubungkannya dengan kurva halus, kita
dapat mensketsa grafik dari persamaan tersebut sebagai berikut.
Seperti persamaan lingkaran, persamaan elips
juga dapat dinyatakan ke dalam bentuk polinomial. Untuk persamaan 25x2 + 4y2 = 100, kita
tahu bahwa persamaan ini bukan merupakan persamaan lingkaran karena
koefisien-koefisien dari x2 dan y2 tidak sama,
dan titik pusat dari grafiknya merupakan titik (0,0) karena a = b = 0. Untuk
menggambar grafik dari persamaan seperti itu, kita dapat mengubah persamaan
tersebut menjadi bentuk standar.
Contoh 2: Menggambar Grafik Elips Vertikal
Untuk 25x2 + 4y2 = 100, (a)
tulislah persamaan tersebut ke dalam bentuk standar dan tentukan titik pusat,
nilai p, dan q-nya, (b)
identifikasi sumbu mayor dan minornya dan labelilah titik-titik puncaknya,
serta (c) gambarkan grafiknya.
Pembahasan
Koefisien-koefisien dari x2 dan y2 tidak sama,
dan 25, 4, dan 100 memiliki tanda yang sama (positif). Sehingga, persamaan
tersebut merupakan persamaan elips dengan pusat di (0, 0). Selanjutnya kita
ubah persamaan tersebut ke dalam bentuk standar.
Hasil di atas menunjukkan bahwa p = 2 dan q = 5, yang
mengindikasikan bahwa sumbu mayornya vertikal dan sumbu minornya horizontal.
Dengan (0, 0) sebagai titik pusat, maka perpotongan grafik terhadap sumbu-x ada di titik-titik (–2, 0) dan (2, 0), sedangkan
titik-titik puncaknya (dan perpotongan grafik dengan sumbu-y) ada di titik-titik (0, –5) dan (0, 5). Sehingga
grafik dari elips tersebut dapat ditunjukkan oleh gambar berikut.
Jika titik pusat dari elips tidak pada titik
asal (0, 0), dalam persamaan bentuk polinomialnya terdapat suku-suku linear
sehingga kita harus melengkapkan kuadrat dalam x dan y, kemudian menuliskannya ke dalam bentuk standar untuk
menggambar grafiknya. Gambar di bawah ini mengilustrasikan bagaimana elips yang
berpusat di titik (0, 0) digeser untuk menjadi elips tertentu.
Contoh 3: Melengkapkan Kuadrat
untuk Menggambar Grafik Elips
Sketsalah grafik 25x2 + 4y2 + 150x – 16y + 141 = 0.
Pembahasan
Koefisien-koefisien
dari x2 dan y2 sama dan
memiliki tanda yang sama (positif), dan mungkin kita berasumsi bahwa persamaan
tersebut merepresentasikan suatu elips. Tetapi kita harus mengubah persamaan
tersebut menjadi bentuk standar untuk meyakinkan asumsi tersebut.
Hasil di atas merupakan suatu elips vertikal
yang memiliki titik pusat di (–3, 2), dengan p= 2 dan q = 5. Titik-titik puncaknya berada 5 satuan ke atas
dan bawah dari titik pusat, dan titik-titik ujung dari sumbu minor berada 2
satuan ke kiri dan kanan dari titik pusat. Sehingga, grafik dari elips tersebut
dapat digambarkan sebagai berikut.
Nah, itu tadi materi tentang persamaan ellips. Apakah teman-teman sudah mengerti? Untuk kali ini cukup sekian dulu ya blog dari saya, semoga bermanfaat. :)
Wassalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh...
