PERSAMAAN BERDERAJAT SATU DAN DUA PADA RUANG DIMENSI TIGA

Assalamualaikum wr. wb... Hai teman-teman. Hari ini kita akan membahas tentang persamaan berderajat satu dan dua pada ruang dimensi tiga. Yuk kita simak materi berikut :)

Persamaan berderajat satu di R3

Persamaan yang berbentuk Ax + By + Cz + D = 0,  dengan A, B, C, D merupakan bilangan real dan A, B, C tak bersama-sama nol, dinamakan persamaan berderajat pertama dengan tiga variabel  x, y, z di R³

Grafik dari himpunan penyelesaian persamaan, merupakan bidang datar. Jadi bidang datar berkaitan dengan persamaan. Sebelum dilakukan penyajian materi tentang bidang datar, perlu disajikan dulu obyek geometri yang merupakan pengertian pangkal, yakni titik.

a.      Titik dan jarak dua titik di R3

Untuk pembahasan geometri analitik di ruang dimensi tiga, perlu diperkenalkan terlebih dulu rumus-rumus untuk menentukan jarak dua titik, dan cara-cara untuk melukiskan arah suatu ruas garis atau garis.

Dalam dimensi tiga, sumbu-sumbu koordinat pada sistem koordinat Kartesius tegak lurus merupakan garis-garis yang saling tegak lurus. Sumbu-sumbu tersebut dinamakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu y. Sedangkan bidang datar yang dutentukan oleh sumbu-sumbu koordinat tersebut dinamakan bidang koordinat, yang dinamakan bidang-bidang xy, yz, dan xz. Dalam sistem ini, koordinat suatu titik mempunyai tiga komponen yang dinyatakan oleh pasangan tiga berurutan (ordered triple) berbentuk (x, y, z). Titik (2, 3, 5) terletak dua satuan dari bidang yz, tiga satuan dari bidang xz, dan lima satuan dari bidang xy. Tiga bidang koordinat memisahkan ruang menjadi 8 daerah (region) yang dikenal sebagai oktan (octants)  Daerah yang koordinat    (x, y, z) semuanya positif dinamakan daerah pertama (first octant).

Titik merupakan pengertian pangkal. Titik di  dapat berupa titik potong (titik tembus), titik puncak, titik sudut, titik pusat. Setiap titik di R³ dapat dikaitkan dengan satu pasangan bilangan real (x, y, z), dan sebaliknya setiap pasangan bilangan real (x, y, z) dapat dikaitkan dengan satu titik di . Jika ada dua titik di   maka antara kedua titik tersebut dapat ditentukan jaraknya.

Teorema Jarak antara titik P(a,b,c) dan titik P(p,q,r) adalah: 

Buktikan! (Petunjuk : Gunakan teorema Pythagoras)

Posisi setiap garis di R3, ditentukan oleh sudut arah. Sudut arah suatu garis ditunjukan oleh besar sudut antara garis tersebut dengan sumbu x, sumbu y, dan sumbu y.  Jika sudut arah suatu garis diketahui, maka dapat ditentukan cosinus arahnya, dan bilangan arahnya.

Teorema Jika d adalah jarak antara P(a,b,c) dan Q(p,q,r), maka cosinus arah garis yang memuat titik P dan titik Q, adalah:  dengan α, β, γ berturut-urut merupakan sudut arah garis terhadap sumbu x, y, z.

Teorema Jika cos u, cos v, cos w merupakan cosinus arah suatu garis maka berlaku: cos² u + cos² v + cos² w = 1

                                   

Bilangan arah suatu garis lurus, adalah sebarang pasangan bilangan (l, m, n) yang diperoleh dengan mengalikan suatu konstan dengan cosinus arah suatu garis.

           

Teorema Jika suatu garis memuat P(a,b,c) dan Q(p,q,r), maka bilangan arah garis tersebut adalah [l,m,n], dengan l=(a-p), m=(b-q), dan n=(c-r).

Teorema Jika θ merupakan sudut antara dua garis yang masing-masing memiliki  sudut arah a₁, b₁, c₁ dan a₂, b₂, c₂, maka Cos θ = cos a₁ cos a₂ + cos b₁ cos b₂ + cos c₁ cos c₂.

Teorema Jika dua garis berturut-turut mempunyai bilangan arah [l₁,m₁,n₁], dan  [l₂,m₂,n₂] maka kedua garis tersebut:

§  sejajar jika dan hanya l₂ = kl₁, m₂ = k m₁, n₂ = k n₁ dengan k ≠ 0.

§  saling tegak lurus jhj  l₁.l₂ + m₁.m₂ + n₁.n₂ = 0

b.      Bidang datar dan Normal

Bidang datar merupakan himpunan titik-titik yang memenuhi syarat-syarat tertentu. Bidang datar (selanjutnya cukup disebut dengan bidang) merupakan salah satu obyek geometri di R3. Selain bidang terdapat obyek geometri yang lain yaitu bidang lengkung, atau luasan (surface). Pada pembahasan selanjutnya dibedakan antara bidang (plane) dan bidang lengkung (surface).

Aksioma : Melalui tiga titik yang tidak segaris dapat ditentukan dengan tepat satu bidang datar.

Teorema : Melalui sebuah titik, dapat dibuat tepat sebuah bidang datar yang tegak lurus terhadap garis yang ditentukan.

Garis yang tegak lurus terhadap bidang datar dinamakan normal  terhadap bidang. Jika garis L tegak lurus bidang datar V, dan bilangan arah L adalah [l,m,n]. maka dapat ditunjukkan bahwa persamaan bidang datar V adalah Ax + By + C = 0, dengan A, B, C merupakan bilangan real.

c.       Jarak titik terhadap bidang

Teorema Jarak tak berarah d antara  titik P₁(x₁,y₁,z₁) dan bidang dengan persamaan Ax + By + Cz + D = 0 adalah 

           

Persamaan berderajat kedua di R3

Bentuk umum persamaan berderajat kedua dengan tiga variabel di  adalah Ax²+By²+Cz²+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Ly+J=0 …(4*), dengan A,B,C,D,E,F, G,H,I,J merupakan bilangan real, dan A, B, C tak bersama-sama nol.

Grafik dari himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, merupakan bidang lengkung (surface). Pada pembahasan selanjutnya, pembahasan bidang lengkung dibatasi pada silinder, paraboloida, bola, elipsoida, dan hiperboloida.

Pada sub materi kajian sebelumnya, dibahas tentang persamaan berderajat pertama dengan tiga peubah (variabel), dan grafiknya di R3. Pada sub kajian materi ini dan selanjutnya akan dibahas persamaan berderajat kedua. Grafik di R3 dari suatu persamaan berderajat kedua dinamakan bidang lengkung kuadrat (quadric surface). Untuk mempermudah melukis grafik persamaan berderajat kedua di R3, perlu disajikan dahulu pengertian jejak-jejak (traces), dan irisan-irisan (sections)

Jejak (trace) adalah suatu kurva yang terbentuk oleh perpotongan antara bidang-bidang koordinat dengan sebuah bidang lengkung (surfase). Sedangkan irisan (section) adalah suatu kurva yang terbentuk oleh perpotongan antara beberapa bidang datar dan suatu bidang lengkung.

Contoh:

Jejak (trace) grafik  4x² – y² + 4z² = -16 pada bidang xy, merupakan parabola. Persamaan dari jejak tersebut adalah: z = 0 dan 4x² – y² + 4z² = -16

Irisan (section) grafik x² + y² + z² = 20 pada bidang y = 4 merupakan lingkaran. Persamaan irisannya adalah: y = 4 dan x² + y² + z² = 20

a) Silinder

Definisi Silinder adalah suatu permukaan yang dibangun oleh sebuah garis lurus yang bergerak sejajar dengan satu garis tertentu, dan selalu memotong sebuah bidang berupa curva (Carico, 1980).

Berdasarkan definisi ini, dapat dikatakan bahwa silinder adalah suatu bidang lengkung. Bidang lengkung ini merupakan himpunan garis lurus/himpunan titik-titik yang memenuhi syarat syarat tertentu. Setiap garis pada bidang lengkung suatu silinder,  yang sejajar dengan garis lurus yang telah ditentukan, dinamakan elemen (element)  sillider.

Teorema berikut ini, dapat digunakan untuk mengidentifikasi bidang lengkung silidrik tertentu dari persamaannya.

Teorema Jika sebuah persamaan terdiri atas dua atau tiga variabel x, y, atau z, grafik di  adalah sebuah silinder yang memiliki unsur-unsur sejaran dengan:

§  Sumbu x jika persamaan hanya memuat variabel y dan z,

§  Sumbu y jika persamaan hanya memuat variabel x dan z,

§  Sumbu z jika persamaan hanya memuat variabel x dan y

Persamaan Silinder

Untuk pembahasan selanjutnya, koefisien yang memuat perkalian dua buah variable (D, E, F) pada persamaa (4*) adalah nol, sehingga persamaan menjadi

Ax² +By² +Cz² +Gx +Hy +Iz +J =0 … (5*), dengan maksud untuk mengurangi tingkat kesulitan yang dihadapi. Jika pada persamaan (5*) hanya memuat dua variabel saja maka persamaan yang berbentuk :

Ax² + By² + Gx + Hy + J = 0 … (6*), atau

Ax² + Cz² + Hy + Iz + J = 0 … (7*), atau

By² + Cz² + Hy + Iz + J = 0 … (8*)

Maka persamaan (6*), (7*), dan (8*) merupakan persamaan silinder. Berikut ini akan diberikan contoh-contoh persamaan silinder.

Contoh persamaan silinder

·        y² - z  = 0

·        x² + y² – 9  = 0

·        x² + z² = 16

·        z  = x² 

b) Bola

Definisi Bola adalah himpunan titik-titik (x,y,z) di yang berjarak sama dari satu titik tertentu (Carico, 1980)

Titik yang tetap tersebut dinamakan pusat bola, dan jarak yang sama dinamakan jari-jari bola.

Persamaan Bola

Bentuk umum persamaan bola adalah

Ax² +  By² + Cz² +Gx + Hy + Iz + J = 0, dengan A = B = C. Jika G, H, dan I semuanya nol, maka persamaan menjadi Ax² +  By² + Cz² + J = 0. Karena A = B = C, diperoleh persamaan . Grafik dari persamaan ini, merupakan bola yang mempunyai pusat titik asal (origin) dan berjari-jari 

Contoh persamaan bola

·      x² + y²  + z² – 9  = 0

·      x² + y²  + z² – 4x + 6y -16  = 0

·      2x² + 2y²  + 2z² – 4x + 6y – 8z - 25  = 0

Definisi Jejak-jejak (traces) dari suatu bola pada setiap bidang koordinat merupakan lingkaran. Suatu bidang lengkung tertentu (bidang lengkung tertutup), yang mempunyai sekurang-kurangnya satu trace berupa ellips, dinamakan ellipsoida.

Grafik dengan persamaan  adalah elipsoida yang berpusat pada O(0,0).

           

Persamaan ellipsoida

Bentuk umum persamaan ellipsoida adalah Ax²+By²+Cz²+Gx+Hy+Iz+J=0, dengan sekurang-kurangnya satu dari A, B, C tidak sama dengan yang lain dan hasil perkalian dua koefisien ini adalah bilangan positif.. Jika G, H, dan I semuanya nol, maka persamaan menjadi Ax²+By²+Cz²+J=0. Grafik dari persamaan ini, merupakan ellipsoida yang mempunyai pusat titik asal (origin) dan sumbu simetri sb. X, sb, y, dan sb.z.

Contoh persamaan elipsoida

·         x² + 2y²  + 4z² – 9  = 0

·         2x² + 5y²  + 5z² – 4x + 6y -16  = 0

·         2x² + 4y²  + 2z² – 4x + 6y – 8 z - 25  = 0

d) Paraboloida

Definisi Grafik dengan persamaan  adalah sebuah paraboloida yang berpuncak di O (0,0).           

Contoh persamaan paraboloida

·         x² + 2y²   – z  = 0

·         2x² + 5z² – 6y   = 0

·         4y²  + 2z² – 4x  - 25  = 0

e) Hiperboloida (hyperboloid)

Definisi       

Grafik dengan persamaan   adalah hiperboloid satu daun dengan sumbu mayor sumbu z.

Grafik dengan persamaan   adalah hiperboloid dua daun dengan sumbu mayor sumbu z.

Grafik dengan persamaan  adalah sebuah hiperbolic paraboloid.

Grafik dengan persamaan  adalah kerucut dengan sumbu mayor adalah sumbu z.

Persamaan hiperboloida

Bentuk umum persamaan ellipsoida adalah Ax² +  By² + Cz² +Gx + Hy + Iz + J = 0, dengan sekurang-kurangnya satu dari  hasil perkalian dua koefisien x², y², z² adalah bilangan negatif..

Contoh persamaan hiperboloida

·         x² + 2y²  - 4z² – 9  = 0

·         -2x² + 5y²  + 5z² – 4x + 6y -16  = 0

·         2x² - 4y²  +  8 z   = 0

           

            Soal-soal :

1.Tentukanlah sebuah persamaan dari himpunan titik-titik sedemikian sehingga untuk setiap titik nilai mutlak dari selisih jaraknya terhadap titik (-5, 0) dan titik (5, 0) adalah 5.

Penyelesaian:
Dengan menggunakan rumus jarak yang memenuhi kondisi yang ditentukan, diperoleh

|d₁ - d₂| = 6 
Jika titik P(x,y) adalah titik yang terletak pada grafiknya, maka diperoleh persamaan yang diminta sebagai berikut: 16x² - 9y²= 144.

2. Tentukanlah sebuah persamaan dari himpunan titik-titik sedemikian hingga untuk setiap titik jumlah jaraknya terhadap titik (-2,0) dan titik (2, 0) adalah 6.
Penyelesaian:
Gunakan rumus jarak yang memenuhi kondisi yan ditentukan, yakni d₁+d₂=6. Setelah dilakukan penyederhanaan, diperoleh persamaan yang diminta sebagai berikut: 5x²+9y²=45.

Nah, jadi itu ya pembahasannya. Semoga bermanfaat. Jangan lupa belajar dan terus belajar...
Wassalamualaikum wr. wb...